การประมาณค่าเชิงเส้น: วิธีการฝึกแบบฝึกหัด

การประมาณค่าเชิงเส้น เป็นวิธีการที่มาจากการประมาณค่าทั่วไปของนิวตันและอนุญาตให้ทำการประมาณค่าที่ไม่รู้จักซึ่งอยู่ระหว่างตัวเลขสองค่าที่กำหนด นั่นคือมีค่ากลาง นอกจากนี้ยังใช้กับฟังก์ชันโดยประมาณโดยที่ค่า f (a) และ f (b) เป็นที่รู้จักและเราต้องการทราบค่ากลางของ f (x)

การแก้ไขมีหลายประเภทเช่นเส้นตรง, กำลังสอง, ลูกบาศก์และเกรดที่สูงกว่าการประมาณเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดคือ ราคาที่ต้องชำระด้วยการแก้ไขเชิงเส้นคือผลลัพธ์จะไม่แม่นยำเท่ากับการประมาณด้วยฟังก์ชันขององศาที่สูงกว่า

คำนิยาม

การสอดแทรกเชิงเส้นเป็นกระบวนการที่ช่วยให้คุณสามารถอนุมานค่าระหว่างสองค่าที่กำหนดไว้อย่างดีซึ่งสามารถอยู่ในตารางหรือในกราฟเชิงเส้น

ตัวอย่างเช่นหากคุณรู้ว่านม 3 ลิตรมีค่า $ 4 และ 5 ลิตรมีมูลค่า $ 7 แต่คุณต้องการรู้ว่ามูลค่าของนม 4 ลิตรคืออะไรให้สอดแทรกเพื่อกำหนดค่าระดับกลางนั้น

วิธี

ในการประมาณค่ากลางของฟังก์ชันฟังก์ชัน f (x) จะถูกประมาณด้วยบรรทัด r (x) ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันจะแปรผันเป็นเส้นตรงด้วย "x" สำหรับการยืด "x = a" และ "x = ข»; นั่นคือสำหรับค่า "x" ในช่วงเวลา (x 0, x 1 ) y (y 0, y 1 ) ค่าของ "y" จะได้รับจากบรรทัดระหว่างจุดและแสดงโดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )

เพื่อให้การประมาณค่าเป็นเชิงเส้นจำเป็นต้องให้การประมาณพหุนามเป็นระดับหนึ่ง (n = 1) ดังนั้นจึงปรับค่าของ x 0 และ x 1

การประมาณค่าเชิงเส้นขึ้นอยู่กับความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมในลักษณะที่ได้มาทางเรขาคณิตจากการแสดงออกก่อนหน้านี้เราสามารถรับค่าของ« y »ซึ่งแสดงถึงค่าที่ไม่รู้จักสำหรับ« x »

ด้วยวิธีนี้คุณจะต้อง:

a = tan Ɵ = (ฝั่งตรงข้าม 1 ÷ด้านที่อยู่ติดกัน 1 ) = (ฝั่งตรงข้าม 2 ÷ด้านที่อยู่ติดกัน 2 )

แสดงในอีกวิธีหนึ่งคือ:

(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )

โดยการล้าง "และ" ของนิพจน์คุณมี:

(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )

(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]

ดังนั้นเราจึงได้สมการทั่วไปสำหรับการประมาณเชิงเส้น:

y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]

โดยทั่วไปการแก้ไขเชิงเส้นจะให้ข้อผิดพลาดเล็กน้อยกับมูลค่าที่แท้จริงของฟังก์ชันที่แท้จริงแม้ว่าข้อผิดพลาดนั้นจะน้อยที่สุดเมื่อเทียบกับถ้าคุณเลือกตัวเลขที่ใกล้เคียงกับที่คุณต้องการค้นหาโดยสังหรณ์ใจ

ข้อผิดพลาดนี้เกิดขึ้นเมื่อคุณพยายามประมาณค่าของเส้นโค้งด้วยเส้นตรง สำหรับกรณีเหล่านี้ขนาดของช่วงเวลาจะต้องลดลงเพื่อให้วิธีการที่แม่นยำยิ่งขึ้น

เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ดีขึ้นเกี่ยวกับวิธีการแนะนำให้ใช้เกรด 2, 3 หรือฟังก์ชั่นเกรดที่สูงขึ้นเพื่อทำการแก้ไข สำหรับกรณีเหล่านี้ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์มาก

การออกกำลังกายที่มีมติ

แบบฝึกหัดที่ 1

จำนวนแบคทีเรียต่อหน่วยปริมาตรที่มีอยู่ในการบ่มหลังจาก x ชั่วโมงแสดงในตารางต่อไปนี้ คุณต้องการทราบปริมาณของแบคทีเรียในเวลา 3.5 ชั่วโมง

ทางออก

ตารางอ้างอิงไม่ได้สร้างค่าที่ระบุจำนวนแบคทีเรียเป็นเวลา 3.5 ชั่วโมง แต่มีค่าที่สูงกว่าและต่ำกว่าซึ่งสอดคล้องกับเวลา 3 และ 4 ชั่วโมงตามลำดับ ด้วยวิธีนี้:

x 0 = 3 และ 0 = 91

x = 3.5 y =?

x 1 = 4 และ 1 = 135

ตอนนี้สมการทางคณิตศาสตร์ถูกนำไปใช้เพื่อหาค่าการประมาณค่าซึ่งมีดังต่อไปนี้:

y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]

จากนั้นค่าที่เกี่ยวข้องจะถูกแทนที่:

y = 91 + (135 - 91) * [(3, 5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44) * [(0.5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 * 0.5

y = 113

ดังนั้นจะได้รับเป็นเวลา 3.5 ชั่วโมงปริมาณของแบคทีเรียคือ 113 ซึ่งหมายถึงระดับกลางระหว่างปริมาณของแบคทีเรียที่มีอยู่ในเวลา 3 และ 4 ชั่วโมง

แบบฝึกหัดที่ 2

หลุยส์มีโรงงานผลิตไอศครีมและเขาต้องการศึกษาเพื่อกำหนดรายได้ที่เขามีในเดือนสิงหาคมจากค่าใช้จ่ายที่เกิดขึ้น ผู้จัดการของ บริษัท ทำกราฟที่แสดงความสัมพันธ์นั้น แต่หลุยส์ต้องการทราบว่า:

รายได้สำหรับเดือนสิงหาคมเป็นเท่าไหร่หากมีค่าใช้จ่าย $ 55, 000?

ทางออก

กราฟแสดงค่าของรายได้และค่าใช้จ่าย หลุยส์อยากรู้ว่ารายได้สิงหาคมคืออะไรถ้าโรงงานมีค่าใช้จ่าย 55, 000 ดอลลาร์ ค่านี้ไม่ได้สะท้อนโดยตรงในกราฟ แต่มีค่าสูงกว่าและต่ำกว่าค่านี้

ก่อนอื่นทำตารางเพื่อให้สัมพันธ์กับค่าอย่างง่ายดาย:

ตอนนี้สูตรการแก้ไขถูกใช้เพื่อกำหนดค่าของ y

y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]

จากนั้นค่าที่เกี่ยวข้องจะถูกแทนที่:

y = 56, 000 + (78, 000 - 56, 000) * [(55, 000 - 45, 000) ÷ (62, 000 - 45, 000)]

y = 56, 000 + (22, 000) * [(10, 000) ÷ (17, 000)]

y = 56, 000 + (22, 000) * (0, 588)

y = 56, 000 + 12, 936

y = $ 68, 936

หากมีค่าใช้จ่าย 55, 000 ดอลลาร์ในเดือนสิงหาคมรายได้ 68, 936 ดอลลาร์