ทฤษฎีบทของ Moivre: ประกอบด้วยการสาธิตและการออกกำลังกาย

ทฤษฎีบทของ Moivre ใช้กระบวนการพื้นฐานของพีชคณิตเช่นพลังและการแยกรากในจำนวนเชิงซ้อน ทฤษฎีบทนี้ได้รับการประกาศโดยนักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวฝรั่งเศสชื่อ Abraham de Moivre (1730) ซึ่งเกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อนกับตรีโกณมิติ

Abraham Moivre สร้างความสัมพันธ์นี้ผ่านการแสดงออกของเต้านมและโคไซน์ นักคณิตศาสตร์คนนี้ได้สร้างสูตรขึ้นมาซึ่งมีความเป็นไปได้ที่จะเพิ่มจำนวนเชิงซ้อน za the power n ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวกมากกว่าหรือเท่ากับ 1

ทฤษฎีบทของ Moivre คืออะไร

ทฤษฎีบทของ Moivre กล่าวดังนี้

ถ้าเรามีจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบขั้ว z = r Ɵ โดยที่ r คือโมดูลของจำนวนเชิงซ้อน z และมุมƟเรียกว่าแอมพลิจูดหรืออาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ ที่มี 0 ≤Ɵ≤2πเพื่อคำนวณ n- พลังนี้ไม่จำเป็นที่จะต้องคูณด้วยตัวมันเอง n-times; นั่นคือไม่จำเป็นต้องสร้างผลิตภัณฑ์ต่อไปนี้:

Zn = z * z * z * . . * z = r Ɵ * r Ɵ * r Ɵ * . . * r-n-times

ในทางตรงกันข้ามทฤษฎีบทบอกว่าเมื่อเขียน z ในรูปตรีโกณมิติเพื่อคำนวณกำลังที่ n เราจะดำเนินการดังนี้:

ถ้า z = r (cos Ɵ + i * sin Ɵ) ดังนั้น zn = rn (cos n * Ɵ + i * sin n * Ɵ)

ตัวอย่างเช่นถ้า n = 2 ดังนั้น z2 = r2 [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] หากคุณมี n = 3 ดังนั้น z3 = z2 * z นอกจากนี้:

z3 = r2 [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] * r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r3 [cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)]

ด้วยวิธีนี้อัตราส่วนตรีโกณมิติของไซน์และโคไซน์สามารถหาได้หลายรายการของมุมตราบใดที่อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมนั้นเป็นที่รู้จัก

ในทำนองเดียวกันมันสามารถใช้เพื่อค้นหานิพจน์ที่แม่นยำและสับสนน้อยกว่าสำหรับรูทที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน z ดังนั้น zn = 1

เพื่อแสดงให้เห็นถึงทฤษฎีบทของ Moivre หลักการของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้: ถ้าจำนวนเต็ม "a" มีคุณสมบัติ "P" และถ้าจำนวนเต็ม "n" มากกว่า "a" กับคุณสมบัติ "P" ทั้งหมด ทำให้มั่นใจว่า n + 1 มีคุณสมบัติ "P" ดังนั้นจำนวนเต็มทั้งหมดที่มากกว่าหรือเท่ากับ "a" มีคุณสมบัติ "P"

แสดง

ด้วยวิธีนี้การพิสูจน์ทฤษฎีบทจะทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

ฐานอุปนัย

ตรวจสอบครั้งแรกสำหรับ n = 1

เมื่อ z1 = (r (cos Ɵ + i * sin Ɵ)) 1 = r1 (cos Ɵ + i * sin Ɵ) 1 = r1 [cos (1 * Ɵ) + i * sin (1 * Ɵ)] เรามี นั่นคือ n = 1 สำหรับทฤษฎีบท

สมมติฐานอุปนัย

สันนิษฐานว่าสูตรเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวกบางตัวนั่นคือ n = k

zk = (r (cos Ɵ + i * sin Ɵ)) k = rk (เพราะ k Ɵ + i * sin k Ɵ)

การทดสอบ

มันพิสูจน์แล้วว่าเป็นจริงสำหรับ n = k + 1

ตั้งแต่ zk + 1 = zk * z ดังนั้น zk + 1 = (r (cos Ɵ + i * sin Ɵ)) k + 1 = rk (cos kƟ + i * sin kƟ) * r (เพราะƟ + i * sinƟ) .

จากนั้นการแสดงออกคูณ:

zk + 1 = rk + 1 ((cos kƟ) * (cosƟ) + (cos kƟ) * (i * sinƟ) + (i * sin kƟ) * (cosƟ) + (i * sin kƟ) * (i * sinƟ ))

เดี๋ยวนั้นตัวประกอบ rk + 1 จะถูกละเว้นและตัวประกอบ i ที่แยกออกมา:

(cos kƟ) * (cosƟ) + i (cos kƟ) * (sinƟ) + i (sin kƟ) * (cosƟ) + i2 (sin kƟ) * (sinƟ)

ในฐานะที่เป็น i2 = -1 เราแทนที่มันในนิพจน์และเราได้รับ:

(cos kƟ) * (cosƟ) + i (cos kƟ) * (sinƟ) + i (sin kƟ) * (cosƟ) - (sin kƟ) * (sinƟ)

ตอนนี้ส่วนที่แท้จริงและจินตภาพได้รับคำสั่ง:

(cos kƟ) * (cosƟ) - (sin kƟ) * (sinƟ) + i [(sin kƟ) * (cosƟ) + (cos kƟ) * (sinƟ)]

เพื่อให้การแสดงออกง่ายขึ้นอัตลักษณ์ตรีโกณมิติของผลรวมของมุมสำหรับโคไซน์และไซน์ถูกนำไปใช้ซึ่ง ได้แก่ :

cos (A + B) = cos A * cos B - sin A * sin B

sin (A + B) = sin A * cos B - cos A * cos B

ในกรณีนี้ตัวแปรคือมุมƟและkƟ การใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติเรามี:

cos kƟ * cosƟ - บาปkƟ * senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ * cosƟ + cos kƟ * sinƟ = sin (kƟ + Ɵ)

ด้วยวิธีนี้การแสดงออกยังคงอยู่:

zk + 1 = rk +1 (cos (kƟ + Ɵ) + i * sin (kƟ + Ɵ))

zk + 1 = rk + 1 (เพราะ [(k +1) Ɵ] + i * sin [(k +1) Ɵ])

ดังนั้นจึงสามารถแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์เป็นจริงสำหรับ n = k + 1 โดยหลักการของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์สรุปได้ว่าผลลัพธ์จะเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมด นั่นคือ n ≥ 1

จำนวนเต็มลบ

ทฤษฎีบทของ Moivre ยังใช้เมื่อ n ≤ 0 พิจารณาจำนวนเต็มลบ« n »; จากนั้น "n" สามารถเขียนเป็น "-m" นั่นคือ n = -m โดยที่ "m" เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น:

(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = (cos Ɵ + i * sin Ɵ) -m

ในการรับค่าเลขชี้กำลัง« m »ในเชิงบวกการแสดงออกจะถูกเขียนในสิ่งที่ตรงกันข้าม:

(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos Ɵ + i * sin Ɵ) m

(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos mƟ + i * sin mƟ)

ทีนี้มันถูกใช้แล้วถ้าหาก z = a + b * i เป็นจำนวนเชิงซ้อนแล้ว 1 ÷ z = ab * i ดังนั้น:

(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = cos (mƟ) - i * sin (mƟ)

การใช้ cos (x) = cos (-x) และ -sen (x) = sin (-x) เราต้อง:

(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = [cos (mƟ) - i * sin (mƟ)]

(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = cos (- mƟ) + i * sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = cos (nƟ) - i * sin (nƟ)

ด้วยวิธีนี้อาจกล่าวได้ว่าทฤษฎีบทนี้ใช้กับค่าจำนวนเต็มทั้งหมดของ "n"

การออกกำลังกายที่มีมติ

การคำนวณพลังบวก

หนึ่งในการดำเนินการกับตัวเลขที่ซับซ้อนในรูปแบบของขั้วคือการคูณระหว่างสองเหล่านี้ ในกรณีนั้นโมดูลจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์

หากคุณมีจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน z 1 และ z 2 และคุณต้องการคำนวณ (z 1 * z 2 ) 2 จากนั้นดำเนินการดังนี้:

z 1 z 2 = [r 1 (cos Ɵ 1 + i * sin Ɵ 1 )] * [r 2 (เพราะƟ 2 + i * sin Ɵ 2 )]

คุณสมบัติการกระจายถูกนำไปใช้:

z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + i * cos Ɵ 1 * i * sin Ɵ 2 + i * sin Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + i2 * sin Ɵ 1 * sin Ɵ 2 ) .

พวกเขาถูกจัดกลุ่มโดยใช้คำว่า "i" เป็นปัจจัยทั่วไปของการแสดงออก:

z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + i (เพราะƟ 1 * บาปƟ 2 + บาปƟ 1 * cos Ɵ 2 ) + i2 * บาปƟ 1 * บาปƟ 2 ]

ในฐานะที่เป็น i2 = -1 มันถูกแทนที่ในการแสดงออก:

z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + i (เพราะƟ 1 * บาปƟ 2 + บาปƟ 1 * cos Ɵ 2 ) - บาปƟ 1 * บาปƟ 2 ]

คำศัพท์จริงถูกจัดกลุ่มใหม่ด้วยของจริงและจินตภาพด้วยจินตภาพ:

z 1 z 2 = r 1 r 2 [(เพราะƟ 1 * cos Ɵ 2 - บาปƟ 1 * บาปƟ 2 ) + i (เพราะƟ 1 * บาปƟ 2 + บาปƟ 1 * cos Ɵ 2 )]

ในที่สุดคุณสมบัติตรีโกณมิติจะถูกนำไปใช้:

z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos (Ɵ 1 + Ɵ 2 ) + i sin (Ɵ 1 + Ɵ 2 )]

โดยสรุป:

(z 1 * z 2 ) 2 = (r 1 r 2 [cos (Ɵ 1 + Ɵ 2 ) + i sin (Ɵ 1 + Ɵ 2 )]) 2

= r 1 2r 2 2 [cos 2 * (Ɵ 1 + Ɵ 2 ) + i sin 2 * (Ɵ 1 + Ɵ 2 )]

แบบฝึกหัดที่ 1

เขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปขั้วหาก z = - 2 -2i จากนั้นใช้ทฤษฎีบทของ Moivre คำนวณ z4

ทางออก

จำนวนเชิงซ้อน z = -2 -2i แสดงในรูปแบบสี่เหลี่ยม z = a + bi โดยที่:

a = -2

b = -2

เมื่อรู้ว่ารูปแบบขั้วคือ z = r (cos Ɵ + i * sin Ɵ) เราต้องกำหนดค่าของโมดูล« r »และค่าของอาร์กิวเมนต์««» ในฐานะที่เป็น r = √ (a² + b²) ค่าที่กำหนดจะถูกแทนที่:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2

จากนั้นในการกำหนดค่าของ«Ɵ»จะใช้รูปแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าของสิ่งนี้ซึ่งได้รับจากสูตร:

ผิวสีแทน b = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1

เนื่องจาก tan (Ɵ) = 1 และคุณต้องมี <0 ดังนั้นคุณต้อง:

Ɵ = arctan (1) + Π

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4

เนื่องจากได้รับค่าของ "r" และ "Ɵ" แล้วจำนวนเชิงซ้อน z = -2 -2i สามารถแสดงในรูปแบบขั้วโดยแทนที่ค่า:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i * sin (5Π / 4))

ตอนนี้ทฤษฎีบท Moivre ถูกใช้เพื่อคำนวณ z4:

z4 = 2√2 (cos (5Π / 4) + i * sin (5Π / 4)) 4

= 32 (cos (5Π) + i * sin (5Π))

แบบฝึกหัดที่ 2

ค้นหาผลิตภัณฑ์ของตัวเลขที่ซับซ้อนโดยแสดงมันในรูปแบบขั้ว:

z1 = 4 (cos 50o + i * sin 50o)

Z2 = 7 (cos 100o + i * sin 100o)

จากนั้นคำนวณ (z1 * z2) ²

ทางออก

ก่อนอื่นผลิตภัณฑ์ของตัวเลขที่กำหนดจะเกิดขึ้น:

z 1 z 2 = [4 (cos 50o + i * sin 50o)] * [7 (cos 100o + i * sin 100o)]

จากนั้นคูณโมดูลเข้าด้วยกันและเพิ่มอาร์กิวเมนต์:

z 1 z 2 = (4 * 7) * [cos (50o + 100o) + i * sin (50o + 100o)]

การแสดงออกง่ายขึ้น:

z 1 z 2 = 28 * (cos 150o + (i * sin 150o)

ในที่สุดทฤษฎีบท Moivre ถูกนำไปใช้:

(z1 * z2) ² = (28 * (cos 150o + (i * sin 150o)) ² = 784 (cos 300o + (i * sin 300o))

การคำนวณพลังเชิงลบ

ในการแบ่งจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน z 1 และ z 2 เป็นรูปขั้วของพวกมันโมดูลจะถูกหารและอาร์กิวเมนต์จะถูกลบออก ดังนั้นความฉลาดทางคือ z 1 ÷ z 2 และแสดงดังนี้:

z 1 ÷ z 2 = r1 / r2 ([cos (Ɵ 1 - Ɵ 2 ) + i sin (Ɵ 1 - Ɵ 2 )])

ดังเช่นในกรณีก่อนหน้าถ้าคุณต้องการคำนวณ (z1 ÷ z2) ³ก่อนการหารจะทำและจากนั้นจะใช้ทฤษฎีบทของ Moivre

แบบฝึกหัด 3

ได้รับ:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4))

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4))

คำนวณ (z1 ÷ z2) ³

ทางออก

ทำตามขั้นตอนที่อธิบายไว้ข้างต้นสามารถสรุปได้ว่า:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4)) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2))